Question

如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer

（1）y=－x2+4x+5；（2）当时，四边形MEFP面积的最大，最大值为，此时点P坐标为；（3）当时，四边形FMEF周长最小.

【解析】

试题分析：（1）设顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式.

（2）求出四边形MEFP面积的表达式，利用二次函数的性质求出最值及点P坐标.

（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图2所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴设抛物线为.

∵抛物线过点A(－1，0)、C(0，5)，

∴，解得：.

∴二次函数的函数关系式为，即y=－x2+4x+5.

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），

设P的坐标为(x，－x2+4x+5)

如答图1，过点P作y轴的垂线，垂足为G，

则四边形MEFP面积

=

===，

∴当时，四边形MEFP面积的最大，最大值为，此时点P坐标为.

（3）如答图2，把点M向右平移1个单位得点M1，再做点M1关于x轴的对称点M2,在四边形FMEF中，因为边PM，EF为固定值，所以要使四边形FMEF周长最小，则ME+PF最小，因为ME=M1F=M2F，所以只要使M2F+PF最小即可，所以点F应该是直线M2P与x轴的交点，由OM=1，OC=5，得点P的纵坐标为3，根据y=－x2+4x+5可求得点P（）

又点M2坐标为（1，－1），∴直线M2P的解析式为.

当y=0时，求得，∴F（，0）.∴.

∴当时，四边形FMEF周长最小.

考点：1. 二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.由实际问题列函数关系式；7.等腰三角形的性质；8.轴对称的应用（最短线路问题）.