Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．

（1）求证：△OAE ≌△OBG；

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）试求：的值（结果保留根号）．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形BFGE是菱形，理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）通过全等三角形的判定定理ASA证得：△OAE≌△OBG.

（2）四边形BFGE是菱形．欲证明四边形BFGE是菱形，只需证得EG=EB=FB=FG，即四条边都相等的四边形是菱形.

（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．由该菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得到：；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°.

∵BH⊥AF，∴∠AHG=90°.

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH. ∴∠GAH=∠OBG.∴△OAE≌△OBG（ASA）..

（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：

∵∠GAH=∠BAH,AH=AH, ∠AHG=∠AHB，∴△AHG≌△AHB（ASA）.∴GH=BH.

∴AF是线段BG的垂直平分线. ∴EG=EB，FG=FB.

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=，∠BFE=90°∠BAF=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE. ∴EB=FB.

∴EG=EB=FB=FG. ∴四边形BFGE是菱形.

（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b，

∵四边形BFGE是菱形， ∴GF∥OB. ∴∠CGF=∠COB=90°.

∴∠GFC=∠GCF=45°.∴CG=GF=b. ∴OG=OE=ab.

在Rt△GOE中，由勾股定理可得：，即.

∴AC=，AG=AC－CG=.

∵PC∥AB, ∴△CGP∽△AGB.∴.

由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB，∴.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3. 菱形的判定和性质；4. 线段垂直平分线的性质；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质.