Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）PG=；（3）存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．

【解析】

试题分析：（1）将A（1，0），B（0，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，），G（m，4），则由可用含m的代数式表示PG的长度.

（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，），G（m，4）.

∴PG=.

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．

∵，∴当y=0时，，解得x=1或﹣3.

∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．

设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=.

∴直线BD的解析式为y=x+4. ∴H（m，m+4）．

分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.

②如果△PGB∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．

考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.由实际问题列代数式；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用．