Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．

（1）求⊙M的半径；

（2）证明：BD为⊙M的切线；

（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值，为．

【解析】

试题分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径．

（2）根据B，D 两点求出直线BD表达式，求出BD与与 x 轴交点Q的坐标，从而求出AB，QA，BQ的长，根据勾股定理逆定理得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线．

（3）取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值．根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x， 又在直线 DO 上的点P的横坐标为2，所以 p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．

试题解析：【解析】
（1）∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圆的半径为．

（2）证明：由题意可得出：M（2，）．

∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且 MC=，故 C（2，﹣1）．

如答图1，过 D 作 DH⊥x 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 N，

则△ACN∽△ADH，

又∵DC=4AC，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D（﹣6，﹣5）．

设直线BD表达式为：y=ax+b，

则，解得：．∴直线BD表达式为：y=x+3．

设 BD 与 x 轴交于Q，则Q（）．∴OQ=．∴．

∵，∴．∴△ABQ是直角三角形，即∠ABQ=90°．

∴BD⊥AB，BD为⊙M的切线．

（3）如答图2，取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值．

设直线DO表达式为 y=kx，

∴﹣5=﹣6k，解得：k=．

∴直线DO表达式为 y=x

又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，∴y=．∴P（2，）．此时|DP﹣AP|=DO=．

考点：1．圆的综合题；2．勾股定理和逆定理；3．垂径定理；4．相似三角形的判定和性质；5．待定系数法的应用；6．直线上点的坐标与方程的关系；7．切线的判定；8．轴对称的应用（最短线路问题）．