Question

已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，

（1）证明ABDF是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠ADDF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．

（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．

试题解析：解：（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC．

∵在△ADB与△CDB中，AB=BC，AD=DC，DB=DB，

∴△ADB≌△CDB（SSS）．∴∠BCD=∠BAD．

∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF．∴AB∥FD．

∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD．

∴四边形ABDF是平行四边形．

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，

∴▱ABDF是菱形．∴AB=BD=5．

设BE=x，则DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，

∵AD=6，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得：x=，即BE=．

∴=，

∴AC=2AE=．

考点：1．平行四边形、菱形的判定和性质；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．