Question

如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x²的图象为l₁．

（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．

①满足此条件的函数解析式有        个．

②写出向下平移且经点A的解析式        ．

（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l₂，如图②，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．

（3）在y轴上是否存在点P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①无数；②y=﹣x2﹣1；（2）；（3）存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．

【解析】

试题分析：（1）①根据实际情况可以直接写出结果．

②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c=﹣1，从而得到函数的解析式：y=﹣x2﹣1．

（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；化为顶点式得到点C 的坐标，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得△ABC的面积．

（3）分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解．

试题解析：【解析】
（1）①无数；

②y=﹣x2﹣1．

（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，

∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

∴，解得：．

∴l2的解析式是：．

∵，

∴顶点C的坐标是．

如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，

则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．

∴S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．

（3）存在．如答图2，3，延长BA交y轴于点G，

设直线AB的解析式为，

则，解得．

∴直线AB的解析式为．

∴点G的坐标为（0，）．

设点P的坐标为（0，h），

①当点P位于点G的下方时，如答图2，PG=，连接AP、BP，

则S△ABP=S△BPG﹣S△APG=．

又∵S△ABC=S△ABP=，得h=．

∴点P的坐标为（0，）．

②当点P位于点G的上方时，如答图3，PG=，

同上可得h=，点P的坐标为（0，）．

综上所述，所求点P的坐标为（0，）或（0，）．

考点：1．二次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．三角形和梯形面积；7．分类思想、转换思想和方程思想的应用．