Question

实验与探究：

三角点阵前n行的点数计算

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…

容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？

如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系

前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．

2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]

=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]

把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到

1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）

这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）

下列用一元二次方程解决上述问题

设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）

整理这个方程，得：n²+n﹣600=0

解方程得：n₁=24，n₂=25

根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．

请你根据上述材料回答下列问题：

（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

Answer

（1）600；（2）24．

【解析】

试题分析：（1）由题意，列出方程n（n+1）=600，解方程得到n的值即可．

（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．

试题解析：【解析】
（1）由题意可得：n（n+1）=600，

整理得n2+n﹣1200=0，

此方程无正整数解，

∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600．

（2）由题意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），

依题意，得n（n+1）=600，

整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，

∴n1=﹣25，n2=24．

∵n为正整数，∴n=24．

∴n的值是24．

考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．