Question

（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论“DE=BD+CE”是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）成立，理由见试题解析；（3）等边三角形．

【解析】

试题分析：（1）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°就可以求出∠BAD=∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE而得出结论；

（2）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，就有△DEF为等边三角形．

试题解析：（1）DE=BD+CE成立．

理由：∵∠BDA=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

∵∠BDA=∠AEC，∠DBA=∠CAE，BA=AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）△DEF为等边三角形，理由：

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE，

在△BAD和△ACE中，

∵∠BDA=∠AEC，∠DBA=∠CAE，BA=AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

∵FB=FA，∠DBF=∠FAE，BD=AE，

∴△DBF≌△EAF（SAS）

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．