Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（，），与y轴交于C（，）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若抛物线的顶点为点D，求△BCD的面积；

（3）设M是（1）所得抛物线上第四象限内的一个动点，过点M作直线l⊥x 轴于点F，交直线BC于点N。试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣3;（2）3;（3）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）过点D作DE⊥y轴于点E,则∠DEC=∠BOC=90°根据B（，），C（，）可得OB=3,OC=3 把y=x2﹣2x﹣3 配方的为：求出顶点D（1，-4），所以可得OE=4，DE=1 ，CE=OE-OC=4-3=1，从而求出△BCD的面积

（3）设直线BC的关系式为，将 B（，），C（，）带入中，求得直线DE的关系式为，根据点M在抛物线上，点N在直线BC上，MN⊥x 轴于点F，M、N在第四象，求出线段MN长度有最大值即可求出此时M点的坐标

试题解析：【解析】
（1）将B（，），C（，）两点的坐标代入得 ：

解得：b=-2,c=-3；

所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）过点D作DE⊥y轴于点E,则∠DEC=∠BOC=90°

∵B（，），C（，）∴OB=3,OC=3

y=x2﹣2x﹣3 配方的：

∴D（1，-4）

∴OE=4，DE=1 ∴CE=OE-OC=4-3=1

∴

．

（3）设直线BC的关系式为

将 B（，），C（，）带入中

则

解得k=1，n=-3

∴直线DE的关系式为

∵点M在抛物线上，点N在直线BC上

又∵MN⊥x 轴于点F，M、N在第四象限

∴设、

∴MF=，NF=

∴MN=

∴当时，线段MN长度有最大值为，此时M的坐标为

考点：1．待定系数法二次函数解析式的确定；2二次函数的性质；3．图形面积的求法