Question

如图，已知矩形ABCD中，BC=12，ACB=30º，动点P在线段AC上，从点A向点C以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒，以点P为顶点，作等边△PMN，点M、N在直线BC上，取BC的中点O，以OB为边在Rt△ABC内部作如图所示的矩形BOEF，点E在线段AC上.

（1）求等边△PMN的边长（用含t的代数式表示）；

（2）设等边△PMN和矩形BOEF重合部分面积为S，请直接写出当0≤t≤2时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量的取值范围；

（3）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3），，，

【解析】

试题分析：（1）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；

（2）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；

（3）分三种情况①EF=MF，②EF=ME，③MF=ME，分别建立方程求解即可．

试题解析：（1）（1）过P作PH⊥BC于H，

∵BC=12，∠ACB=30°，∴AB=，∴AC=2AB=，

∵AP=，∴PC=，∵△BPH∽△BAO，∴，∴PH=，

∵cos30°=，∴PN=，

（2）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONG，作GH⊥OB于H，如图3，

∵∠GNH=60°，GH=，∴HN=2，∵PN=NB=8﹣t，∴ON=OB﹣NB，∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t，

∴OH=4+t﹣2=2+t，

S1=（2+t+4+t）×=，

当1＜t＜2时，如图4，S2=S五边形IFONG，作GH⊥OB于H，

∵AP2=，∴AF=，∴OF=，

∴EF=，∴EI=2t﹣2，

∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI=，

∴；

（3）由（1）知：MB=4-2t，∴MO=10-2t，∴，∴，

①当EF=MF时，即，∴，∴或<0（舍去），

②当EF=ME时，即，∴，∴或，

③当MF=ME时，即，∴．

综上所述，当或或或时，△EFM是等腰三角形．

考点：1．二次函数综合题；2．等边三角形的性质；3．相似三角形的判定与性质．