Question

已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；

（2）求证：BH+DH=CH.

Answer

（1）；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）通过证明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=DG=；

（2）如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．构建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推知MH=CH，DM=BH．则BH+DH=MH=CH．

试题解析：（1）∵如图，DF=DC，DG⊥CF，∴∠FDG=∠FDC，

∵DH平分∠ADE，∴∠FDH=∠ADF，∴∠HDG=∠FDG﹣∠FDH=（∠FDC﹣∠ADF）=∠ADC=45°，∴△DGH是等腰直角三角形，

∵DG=2，∴DH=；

（2）如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．

∵∠DCB=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．

又∵△DGH是等腰直角三角形，∴△MCH是等腰直角三角形，∴MC=CH．∴MH=CH．

在△MCD与△HCB中，∵CD=CB，∠1=∠2，MC=HC，∴△MCD≌△HCB）SAS），∴DM=BH．

∴BH+DH=DM+DH=MH=CH．即BH+DH=CH．

考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．