Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；

（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；

（2）如图（2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE

（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO（AAS），即得CF=OA=1，AF=OB=2，从而求得结果；（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△ACE≌△BAH（AAS），即可得到AE=BH=2OA，从而得到结果.

试题解析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F

通过证△ACF≌△ABO（AAS）

得CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

C（－1，－1）

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G

通过证△ACG≌△ABD（ASA）

得 CG=AD=CD ∠ADB=∠G

由 ∠DCE=∠GCE=45°

可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE

（3） 在OB上截取OH=OD,连接AH

由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA

又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA +OD）

（方法不唯一）

考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.