Question

已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如图，当AD为∠BAC的角平分线时，求证:AB=AC+CD

（2）如图，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想加以证明．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，可证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；

（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．

试题解析：解：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE

AD为∠ABC的角平分线

又 ∴ ≌

∠ACB=2∠B ∴ ∠AEB=2∠B

又 ∠AED=∠B+∠EDB

∴∠B=∠EDB

∴BE=ED,AB=AE+BE=AC+ED=AC+CD.

（2）猜想：AB+AC=CD．

证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．

AD平分∠FAC，∠EAD=∠CAD．

在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，△EAD≌△CAD．

ED=CD，∠AED=∠ACD．

∠FED=∠ACB．

又∠ACB=2 ∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B．

EB=ED．∴ EA+AB=EB=ED=CD．∴AC十AB=CD．

考点：1.角平分线的性质；2.全等三角形的判定与性质.