Question

如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点 重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，根据N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程，然后求解即可；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；（3）设△AMN是等腰三角形，通过证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值即可．

试题解析：

【解析】
（1）设N与M重合时，运动时间为x秒。由题意，得：x+12=2x解得：x=1 2 ∴运动时间为12秒时，N与M重合.

（2） ∵ △ABC是等边三角形，∴∠A=60 ，当AM=AN时，△AMN为等边三角形

设运动的时间为y秒，则 AN=12-2a ; AM=a，∴ 12-2a = a ∴ a=4

∴当运动时间为4秒时， △AMN为等边三角形

（3）当N与M在BC上运动时，如图：若CM=NB时，在△ACM和△ABN中：

∴△ACM≌△ABN（SAS）

∴AM=AN

∴△AMN为等腰三角形

设运动时间为m秒，∴CM=m-12，NB=36-2m

∵CM=NB

∴m-12=36-2m

∴m=16

∴运动时间为16秒时，△AMN为等腰三角形

（1） （2） （3）

考点：1.等边三角形的性质；2.等腰三角形的判定；3.全等三角形的判定与性质.