Question

（12分）如图1，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．

（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿方向平移的距离为___________；

（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度，如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；

（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△MPQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值是四边形MPAQ的面积的一半，此时，指出四边形MPAQ的形状．

Answer

（1）；（2）不变，1；（2），当时，MPAQ为正方形．

【解析】

试题分析：（1）M是BC的中点，三角板沿C→B方向平移的距离为CM，根据勾股定理可求BC，那么CM可求；

（2）连AM，分别证明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四边形MPAQ的面积S就是△ABC面积的一半；

（3）用四边形MPAQ的面积减去△APQ可得△MPQ的面积，而AQ=PB=x，AP=2﹣x，据此列出y关于x的函数关系式，将函数值代入函数关系式可得自变量，根据自变量可以判断四边形MPAQ的形状．

试题解析：（1）BC=，∴CM=BC=，故三角板沿C→B方向平移的距离为：；

（2）四边形MPAQ的面积S不变，如图，连AM，M是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°，∴△MAQ≌△MBP，

同理可得：△MAP≌△MCQ，

∴S四边形MPAQ=S△MAQ+S△MAP=S△ABC=；

（3），如果y的值是四边形MPAQ的面积的一半，

则有：，解得，．

当时，即BP=1，∵AB=2，∴AP=1，

∵y的值是四边形MPAQ的面积的一半，∴△PAQ的面积=△PMQ的面积=，∴QA=1，

∵△MAQ≌△MBP，∴QM=MP，∴QM=MP=1，∴QM=MP=QA=AP=1，

∵∠PAQ=90°，∴四边形MPAQ为正方形．

考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的判定；4．平移的性质．