Question

（11分）如图，正方形ABCD的长为1， 点E是AD边上的动点且从点A沿AD向D运动， 以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，为DC与EF的交点，请探索：

（1）连接CG，线段AE与CG是否相等? 请说明理由.

（2）设AE=x， CG=y， 请确定y与x的函数关系式并说明自变量的取值范围.

（3）连接BH， 当点E运动到边AD上的某一点时将有△BEH∽△BAE，请你指出这一点的位置，并说明理由.

Answer

（1）相等，理由见试题解析；（2）（）；（3）AE=．

【解析】

试题分析：由SAS定理可判断△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）问的结论；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得结论进行等量代换，最后三角形相似的判定定理进行证明．

试题解析：（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），

∴△BEA≌△BGC，∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，∴y=x（0≤x≤1）；

（3）∵△BEA≌△BGC，∴∠A=∠BCG=90°，∴∠D=∠BCG=90°，

∵∠FEB=90°，∴∠DEH+∠EAB=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠EBA，∴∠DEH=∠GBC，∵∠D=∠BCG，∴△BCG∽△EDH，又∵△BEA≌△BGC，∴△BAE∽△EDH，∴△BCG∽△EDH，∴EH：EB=DE：AB，∴当E为DA中点时，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，即当E为DA中点时△BEH∽△BAE．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质．