Question

（8分）如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．

（1）求证：四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，∴四边形AFED是正方形，连接DG由于BG与CD平行且相等，所以边形BCDG是平行四边形∴CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，∴DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．

解答：证明：（1）∵△DEF由△DAF折叠而得，∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，

∵AB∥CD，∴∠ADE=180°﹣∠A=90°．∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．∴四边形ADEF是矩形．

又∵DA=DE，∴四边形ADEF是正方形；

（2）由折叠及图形特点易得EG与CB不平行，连接DG，

∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．

∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．

∵G是AF的中点，∴AG=FG．

在△DAG和△EFG中，∵DA=EF，∠A=∠EFG，AG=FG，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，

∴EG=BC，四边形GBCE是等腰梯形．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的判定；3．等腰梯形的判定．