Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线x=l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线x=l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线x=l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+2x+3．（2）P的坐标（1，2）．（3）M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．

（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

试题解析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

∵点A、B关于直线l对称，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，

解得：

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；

当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x==1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：

m2+4=m2-6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=±；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：

m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．

考点：二次函数综合题．