Question

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，，，点M，N是BD边上的任意两点，且，将△ABM绕点A逆时针旋转至△ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，，，求AG，MN的长．

Answer

（1） 45°．（2） MN2=ND2+DH2．理由见解析；（3）5.

【解析】

试题分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．

（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．

（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．

试题解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．

∴∠BAE=∠GAE．

同理，∠GAF=∠DAF．

∴∠EAF=∠BAD=45°．

（2）MN2=ND2+DH2．

∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．

∴∠HAN=∠MAN．

又∵AM=AH，AN=AN，

∴△AMN≌△AHN．

∴MN=HN．

∵∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．

∴NH2=ND2+DH2．

∴MN2=ND2+DH2．

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．

设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．

在Rt△CEF中，

∵CE2+CF2=EF2，

∴（x-4）2+（x-6）2=102．

解这个方程，得x1=12，x2=-2（舍去负根）．

即AG=12．（8分）

在Rt△ABD中，

∴BD=．

在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，

∴MN2=ND2+BM2．

设MN=a，则a2=（12-3-a）2+（3）2．

即a 2=（9-a） 2+（3） 2，

∴a=5．即MN=5.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理．