Question

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer

（1）y=-5x2+800x-27500；

（2） x=80时，y最大值=4500；

（3） 销售单价应该控制在82元至90元之间．

【解析】

试题分析：（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程；

（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；

（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．

试题解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]

=（x-50）（-5x+550）

=-5x2+800x-27500

∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）y=-5x2+800x-27500

=-5（x-80）2+4500

∵a=-5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，-5（x-80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

由每天的总成本不超过7000元，得50（-5x+550）≤7000，

解得x≥82．

∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，

∴销售单价应该控制在82元至90元之间．

考点：二次函数的应用．