Question

（10分）已知关于x的方程x²﹣（m＋2）x＋（2m﹣1）＝0．

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）或

【解析】

试题分析：（1）一元二次方程的根与系数的关系是，当△＞0时，原方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，原方程有两个相等的实数根；当△＜0时，原方程没有实数根.证方程恒有两个不相等的实数根，即要证明方程的△＞0；

（2）将x＝1代入到原方程中，即可得到m的值，再根据根与系数的关系即可得到方程的另一个根，以这两个根为直角三角形的边长的三角形有两种情况，需要分类讨论：①两边都是直角边时，②大边是斜边，小边是直角边时.

试题解析：（1）证明：∵△＝（m＋2）2－4（2m－1）＝（m－2）2＋4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2＋4＞0，即△＞0，

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0恒有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
根据题意，得

12－1×（m＋2）＋（2m－1）＝0，

解得，m＝2，

则方程的另一根为：m＋2－1＝2＋1＝3；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；

该直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋．.

考点：解一元二次方程；一元二次的根的判别式；勾股定理；分类思想.