Question

如图，在直角坐标系中，以点A（，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E

（1）若抛物线经过C、D两点，求抛物线的表达式，并判断点B是否在该抛物线上

（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小

（3）设Q为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由

Answer

（1） y=x2-x-3，点B（-，0）在抛物线上；

（2）（，-2）；

（3）存在，M（-3，12）或（5，12）或（，-4）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意A（，0），得出B（-，0）连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D两点坐标代入抛物线y=x2+bx+c，可求抛物线解析式；

（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=，代入直线CD的解析式即可求P；

（3）利用BC=4，Q点横坐标是，当M在Q点左边，则M点横坐标为-4=-3，代入抛物线解析式可求M点坐标，进而利用当M在Q点右边求出M点坐标，．

试题解析：（1）如图：

∵OA=，AB=AC=2，

∴B（-，0），C（3，0），

在Rt△AOD中，AD=2，OA=，

∴OD=

∴D的坐标为：（0，-3），

又D，C两点在抛物线上，

则

解得：

则抛物线的解析式为：y=x2-x-3，

当x=-时，y=0，

故点B（-，0）在抛物线上；

（2）如图：

∵y=x2-x-3=（x-）2-4，

∴抛物线y=x2-x-3的对称轴方程为：x=，

在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．

∵BD的长为定值，

∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．

连结DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．

设直线DC的解析式为y=mx+n．

由

解得：

∴直线DC的解析式为：y=x-3，

由

解得：

故点P的坐标为：（，-2）；

（3）存在，

如图：

设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，

则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．

于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（xm，t），

由BC=QM得QM=4从而xm=-3，

故t=x2-x-3

解得：t=12，

故在抛物线上存在点M（-3，12），使得四边形BCQM为平行四边形；

故当M在Q点右边MQ=4，则M点横坐标为：5，可得纵坐标为：12，

另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形，此时顶点坐标为：（，-4），

故在抛物线上存在点M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．

考点：二次函数综合题．