Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设此抛物线与直线在第二象限交于点D，平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）该抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；（2）在该抛物线的对称轴上存在点Q（，），使得△QAC的周长最小；（3）当m=-1时（在-1-＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大

【解析】

试题分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c确定解析式．

（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．

（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．

试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，O），B（-4，0）两点，

将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0

解得：b=-3，c=4

所以，该抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

（2）存在

∵由前面的计算可以得到，C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=-

∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=-对称，

∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小

∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，（1分）

此时：直线BC的解析式为y=x+4，

当x=时，y=，

∴在该抛物线的对称轴上存在点Q（，），使得△QAC的周长最小；

（3）由题意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）

∴线段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5

∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0．5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10

∴当m=-1时（在-1-＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大．

考点：二次函数综合题．