Question

（12分）如图①，OP是∠MON的平分线。

（1）请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。（3分）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60゜，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量关系并证明。（7分）

（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他条件不变。请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？ ______________   （填 是或否）。（2分）

（2）证明：

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）提到角平分线就会想到角平分线上的点到角两边的距离相等，就要做辅助线（过角平分线上的任一点到角两边的距离），构造全等三角形

（2）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，从而根据角平分线的性质得证△DMF≌△ENF，最终得出结果；

（3）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，从而根据角平分线的性质得证△DMF≌△ENF，因此可判断.

试题解析：（1）

（2）②相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=30°，

∴

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD；

③是．

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四边形BNFM是圆内接四边形，

∵∠B=60°，

∴∠MFN=180°-∠B=120°，

∵

∴∠DFE=∠CFA=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠DFE，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD．

考点：角平分线的性质，三角形全等的判定与性质