Question

（14分）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE。

（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：__________ 

（2）证明上题：

（3）在△ABC中，若AB=5.AC=3，可以求得BC边上的中线AD的取值范围AD＜4.请看解题过程：

由△ACD≌△EBD得：AD=ED，BE=AC=3，因此AE＜AB+BE，即AE＜8，而AD=AE，

则AD＜4，请参考上述解题方法，可求得AD＞m，则m的值为_______________.

（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）

Answer

（1）如AD=ED（只要条件符合均可以） （2）见解析 （3）m=1

【解析】

试题分析：（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AD=ED；

（2）由D为BC的中点，得到BD=CD，再根据∠ADC=∠EDB，AD=ED利用SAS可得出△ACD≌△EBD；

（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，得到AB-BE小于AE，求出AE大于2，由D为AE的中点，得到AD大于1，从而求出m=1．

（4）作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD=AB．

试题解析：

（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AD=ED；

（2）证明：

又∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

在△ACD和△EBD中，，

∴△ACD≌△EBD（SAS）；

（3）在△ABE中，AE＞AB-BE=5-3=2，

又∵△ACD≌△EBD，

∴AD=DE=AE，

∴AD＞1

∴m=1．

（4）

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

求证：CD=AB；

证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴AD=BD，

∴四边形AEBC是平行四边形

∵∠ACB=90°，

∴四边形AEBC是矩形，

∴AD=BD=CD=DE，

∴CD=AB．

考点：中点的性质，三角形全等的判定，直角三角形的性质，矩形的性质