Question

（本题14分）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为.

（1）求出、两点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；

①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？

②设的面积为，求与的函数关系式.

（3）若点G为抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在这样的点H，使以B、C、G、H为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的H点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；

（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②S=（0≤m≤3）．

（3）H坐标为H1(1,0)或H2(5,0)或H3（，0）m的变化范围是0≤m≤3

【解析】

试题分析：（1）令y=0，则﹣x2+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，

解得，x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0）．

所以，对称轴是x==1．

令x=0，则y=0，则C（0，3）．

综上所述， B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，

解得：k=﹣1，b=3．

所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

当x=m时，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．

∴D（1，4）

当x=m时，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴线段DE=4﹣2=2，

线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．

由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．

=．

m的变化范围是0≤m≤3．

（3）若以B、C、G、H为顶点的四边形是平行四边形，

①BH为四边形的边，则CG//BH

故点G和点C关于直线x=1对称

∴G(2,3)且CG=2

此时BH=2

∴H1(1,0)或H2(5,0)

②BH为对角线，则此时G的纵坐标为-3

∴﹣x2+2x+3=-3，可得x=.有图象可知x=舍去

故G(3, )

B、H关于点(,0)

所以H（，0）

综上，H坐标为H1(1,0)或H2(5,0)或H3（，0）

考点：抛物线的综合运用