Question

(本小题满分12分 ）已知抛物线y=ax²+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。

（1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）①在抛物线AB段上存在一点E使△ABE的面积最大，求E点的坐标

②请直接写出以A、 B和在满足①的条件中的E点为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标。

Answer

（1）y=-2x2+4x+1；（2）5+；（3）①E（，）；②P1（，）；P2（，），P3（， ）

【解析】

试题分析：

试题解析：（1）依题意：3=a+b+1，1=4a+2b+l，解得：a=-2，b=4，

∴抛物线的解析式为y=-2x2+4x+1；

（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A′的坐标是（-1，3），

点B（2，1）关于x轴的对称点B′的坐标是（2，-1），

由对称性可知AB+BC+CD+DA=AB+B′C+CD+DA≥AB+A′B′，

由勾股定理可求得

所以，四边形ABCD周长的最小值是AB+A'B′=5+；

（3）①若要使△ABE的面积最大，则可将线段AB所在的直线向上平移，直到与抛物线AB段只有一个交点为止。此时的点E即为所求做的点。设E（x,y）

易知

∴可知点E满足：，其中m为某一实数

整理得E(x,y）满足方程2x2-6x+m-1=0，且此时x是方程的唯一解

故x=,

∴E（，）

②P1（，） P2（，） P3（， ）

考点: 二次函数综合题