Question

（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）120°；（2）A（，0），B（，0）；（3）；（4）D（0，2）．

【解析】

试题分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值．

（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．

（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．

（4）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．

试题解析：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，

∵CH=1，半径CB=2，∠BCH=60°，∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2，∴HB=，故A（，0），B（，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）

设抛物线解析式，把点B（，0）代入上式，解得，∴；

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y轴，∴点D在y轴上．

又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）满足，∴点D在抛物线上，∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．

考点：二次函数综合题．