Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（本小题满分10分）

（1）求证：线段AB为⊙P的直径；

（2）求△AOB的面积；

（3）如图2，Q是反比例函数图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，求证：DO·OC=BO·OA．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）24；（3）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；

（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；

（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．

（2）【解析】
设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数图象上一点，∴mn=12．

如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：∵以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，∠COD=90°，

∴DC是⊙Q的直径．

若点Q为反比例函数图象上异于点P的另一点，

参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，

则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，

∴DO•OC=BO•OA．

考点：反比例函数综合题．