Question

（本题10分）如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，设BD＝m，CE＝n．

（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；

（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝（0º＜＜180º），设BD＝m，CE＝n．问DE的长如何表示？并请证明你的结论

Answer

（1）DE=；（2）DE=，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，

则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE=；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

试题解析：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900，

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900，∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD，

又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE=；

（2）∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=．

考点：全等三角形的判定与性质．