Question

（本小题满分12分）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）Q（1，）或（1，）或（1，0）或（1，1）．

【解析】

试题分析：（1）由直线交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；

（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

试题解析：（1）∵当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵C（3，0），设抛物线的解析式为，∴，∴，

∴此抛物线的解析式为；

（2）存在．∵，∴该抛物线的对称轴为，

设Q点坐标为（1，m），则，又，

当AB=AQ时， ，解得：，∴Q点坐标为（1，）或（1，）；

当AB=BQ时，，解得：，

∵（1，6），（－1，0），（0，3）三点共线，所以不存在，故舍去，∴Q点坐标为（1，0），

当AQ=BQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，1），

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．

考点：二次函数综合题．