Question

如图（1），边长为6的等边三角形ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G.

（1）当点D运动到AB的中点时，求AE的长；

（2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；

（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图（2）的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由，若不变，请证明EG等于AC的一半.

Answer

（1）；（2）2，，（3）不变，证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）解直角三角形ADE，根据30°角对应直角边为斜边长一半即可解题；

（2）设AD=X，解直角三角形BDF即可求得X的值，即可求得△BDF的面积；

（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．

试题解析：（1）当D为AB中点时，AD=3，

在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，∴AE=AD•sinA=．

（2）设AD=x，则CF=x，

当DF⊥AB时，RT△BDF中，∠F=30°，∴BF=2BD，6+x=2（6﹣x），解得x=2，∴AD=2．

∴BD=6﹣2=4，

DF=BD•tanB=，∴△BDF的面积为BD•DF=．

（3）过F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，∵∠AED=∠FHC，∠A=∠FCH，AD=CF，∴△ADE≌△CFH（AAS），

∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，

在△GDE和△GFH中，∵∠DEG=∠FHG，∠DGE=∠FGH，DE=FH，∴△GDE≌△GFH（AAS），

∴EG=GH，∴EG=EH=AC．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．