Question

Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，D为BC中点，点E，F分别在AB，AC上，且BE=AF，

（1）求证：ED=FD，

（2）求证：DF⊥DE，

（3）求四边形AFDE的面积．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接AD，再证明BD=AD，∠C=∠EAD，根据全等三角形的判定易得到△BDE≌△ADF，继而可得出结论；

（2）由△BDE≌△ADF得到∠BDE=∠ADF，而∠ADB=90°，故可以得到∠EDF=90°，

（3）根据全等可得S△AFD=S△BED，进而得到S四边形AFDE=S△ADB，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．

试题解析：

（1）如图，连接AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=∠B=45°，

∵D为BC中点，∴BD=CD，CD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠DAF=45°，∴DB=AD，

在△ADF和△BED中，∵BE=AF，∠B=∠DAF=45°，BD=AD，∴△ADF≌△BED，∴ED=FD；

（2）∵△ADF≌△BED，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BDA=90°，∴∠BDE+∠EDA=∠90°，∴∠EDA+∠ADF=90°，∴DF⊥DE；

（2）∵△ADF≌△BED，∴S△AFD=S△BED，∴S四边形AFDE=S△ADB，

∵D是BC的中点，∴S△ACD=S△ACB=．∴S四边形AFDE =1．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．