Question

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元.

请比较哪种方案的最大利润更高？并说明理由.

Answer

（1）w=-10x2+700x-10000；（2）当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润更高.

【解析】

试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；

（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；

（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

试题解析：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，

则w=（x-20）（-10x+500）

=-10x2+700x-10000；

（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．

∵-10＜0，

∴函数图象开口向下，w有最大值，

当x=35时，w最大=2250，

故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；

（3）A方案利润高．理由如下：

A方案中：20＜x≤30，

故当x=30时，w有最大值，

此时wA=2000；

B方案中：

，

故x的取值范围为：45≤x≤49，

∵函数w=-10（x-35）2+2250，对称轴为直线x=35，

∴当x=45时，w有最大值，

此时wB=1250，

∵wA＞wB，

∴A方案利润更高.

故x的取值范围为：45≤x≤49，

考点：二次函数的应用．