Question

如图，抛物线经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．P为线段BC上一点，过点P作轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，点P的坐标为      ．

Answer

（，）.

【解析】

试题分析：把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，从而得到抛物线的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，当与BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时，点D到BC的距离最大，此时△BDC的面积最大，然后联立直线与抛物线解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出x的值，即可得到点D的横坐标，然后代入直线BC的解析式求出点P的纵坐标，即可得解；

试题解析：∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0），C（0，3），

∴

解得，

∴y=-x2+2x+3，

令y=0，则-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴点B的坐标为（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

所以，直线BC的解析式为y=-x+3，

过点D作BC的平行直线，设解析式为y=-x+d，

联立，

消掉y得，-x2+2x+3=-x+d，

整理得，x2-3x-3+d=0，

当△=0时，方程有两个相等的实数根，此时点D到BC的距离最大，△BDC的面积最大，

所以，x=-，

∵PD∥y轴，

∴点P的横坐标为，

此时y=-+3=，

∴点P的坐标为（，）.

考点：二次函数综合题．