Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），A点坐标为（-1,0）OB＝OC ，

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

图1                               图2

Answer

（1）二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）存在，F（2，-3）；理由见解析；

（3）当x＝时，△APG的面积最大为；此时P点的坐标为（，-）．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）根据以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，由平行四边形的性质以及二次函数的性质得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．

（3）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．

试题解析：（1）由已知得：C（0，-3），

设该表达式为： y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）

将C点的坐标代入得：a=1

所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）如图，

又y=（x-1）2-4，∴顶点D（1，-4）．

容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．

在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．

∴E（-3，0），

∵A（-1，0），

∴AE=2．

在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，

∴CF=2，

∴AE=CF．

∵AE∥CF，

∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；

设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2；

S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（−x2+x+2）×3＝−（x−）2+

当x＝时，△APG的面积最大为；

又AG＝3，P到AG的最大距离为==，此时P点的坐标为（，-）．

考点：1、待定系数法；2、平行四边形的判定；3、图形的面积