Question

（14分）如图，抛物线与直线交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．

（1）求b的值；

（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；

（3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；

（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．

Answer

（1）b=-1；

（2）；

（3）P（，）

（4）

【解析】

试题分析：（1）抛物线解析式令y=0求出方程的解，确定出A与B坐标，把A坐标代入直线解析式求出b的值即可；（2）把P横坐标m代入抛物线解析式表示出NP，代入直线解析式表示出MN，由NP-MN表示出MP；（3）过C作CE垂直于x轴，三角形APC面积=三角形AMP面积+三角形CMP面积，根据AE为定值，得到MP最大时，三角形APC面积最大，利用二次函数的性质求出此时m的值，进而确定出P坐标；（4）分三种情况考虑：MC=PC；MP=MC；PM=PC时，分别求出满足题意P的坐标即可．

试题解析：（1）令，得，

∴A（-1,0）代入，得b=-1 ∴

（2）∵NP= MN=

∴MP=NP-NM==

m的取值范围是

（3）作CE⊥AB于点E，则

S=△AMP面积+△CMP面积=MP×AN+MP×NE=MP×AE=，

∵当时，最大 此时P（，）

（4）

考点：二次函数综合题．