Question

如图1，已知抛物线y=－x²+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.

（1）求b，c的值。

（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.

（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

Answer

（1）b=-2,c=3

（2）设的坐标为，直线的解析式为，，的最大值为，此时

（3）E的坐标：

【解析】

试题分析：：（1）将A、B两点坐标代入即可求出；

（2）假设存在一点P（x，），则△PBC的面积可表示为.从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标；

（3）根据题意易证，所以，当OE最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上, 所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此 E（，） .

试题解析：（1） 将A、B两点坐标代入得：，解得： b=－2，c=3；

（2）存在。理由如下：

设P点

∵

当时， ∴最大＝

当时，

∴点P坐标为（，）

（3）∵∴,而, ,

∴, ∴

∴

∴当最小时，△OEF面积取得最小值.

∵点在线段上, ∴当时，最小.

此时点E是BC中点

∴ （，）.

考点：1.二次函数的定义;2.二次函数的图像;3.二次函数的最大值和最小值;3.求二次函数的解析式;4.二次函数的应用