Question

（本小题满分8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．

(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．

Answer

（1）AP=CQ （2)直角三角形

【解析】

试题分析：（1）根据条件用“SAS”可证明△ABP≌△CBQ，从而可得AP=CQ；（2）连接PQ．可证明△PBQ为等边三角形，得PQ=PB=4，然后根据勾股定理的逆定理可证△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°．

试题解析：【解析】
（1）AP=CQ，理由如下：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．因为∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．在△ABP和△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ， BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ，（SAS），所以AP=CQ；（2）连接PQ．因为BP=BQ，∠PBQ=60°，所以△PBQ是等边三角形，所以 PQ=PB=4．又因为CQ=PA=3，PC=5，且，即，所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．

考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质;3.勾股定理的逆定理.