Question

如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE=CF；

（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．

Answer

（1）AE=CF （2）∠EGC=80°

【解析】

试题分析：（1)要证AE=CF，若我们能够证明其所在的三角形全等即可。AE位于

△AEB中，CF位于△CFB中，因为四边形ABCD是正方形，则AB=BC，因为

BE⊥BF，则∠ABC=∠EBF=90°,都减去∠EBC，故∠ABE=∠CBF，又因为BE=BF，故可以

由SAS定理得到两个三角形全等。故AE=CF。

（2）由三角形的外角等于和他不相邻的两个内角之和，则∠EGC=∠EBG+∠BEF，由BE⊥BF，

∠FBE=90°，BE=BF，则∠BEF=∠EFB=45°，而∠EBG=90°－∠ABE=90°-55°=35°，故可求出∠EGC=80°。

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC， 1分

∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，

∴∠ABE=∠CBF， 2分

在△AEB和△CFB中，

∴△AEB≌△CFB（SAS）， 4分

∴AE=CF． ．5分

（2）【解析】
∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

又∵BE=BF，

∴∠BEF=∠EFB=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

又∵∠ABE=55°，

∴∠EBG=90°-55°=35°， 7分

∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80° 9分

考点：1．三角形全等的判定定理 2．正方形的性质 3．角形的外角等于和他不相邻的两个内角之和