Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，完成下列问题：

（1）若∠B=70°，∠C=34°，求∠DAE．∠AEC的度数；

（2）若∠B＞∠C，试猜想∠DAE与∠B﹣∠C有何关系，并证明．

Answer

（1）∠DAE=18°，∠AEC=108° （2）∠DAE=（∠B-∠C）

【解析】

试题分析:(1)∠DAE=∠DAC-∠EAC，而∠DAC=90°-∠C，∠C已知。∠BAC=180°-∠B-∠C=76°，AE平分∠BAC，故∠EAC为∠BAC的一半，故∠DAE可求。利用三角形的外角等于和他不相邻的内角之和，故∠AEC=∠ADC＋∠DAE，这两个角均已知。或者利用三角形的内角和为180°，利用∠AEC=180°-34°-38°=108°求出，两种方法均可。

（2）∠DAE=∠DAC-∠EAC，在直角△ACD中，∠DAC=90°-∠C，在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，因为AE平分∠BAC，所以，∠EAC=∠BAC=90°-（∠B+∠C），故可以求出∠DAE与∠B﹣∠C的关系。

试题解析：

【解析】
（1）在△ABC中，

∵∠B=70°，∠C=34°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°， 1分

又∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=38°，

在直角△ACD中，∠DAC=90°-∠C=56°，

∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°； 2分

在△AEC中，

∵∠C=34°，∠EAC=38°，

∴∠AEC=180°-34°-38°=108°． 3分

（2）∠DAE=（∠B-∠C）． 4分

在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，

又∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAC=90°-（∠B+∠C）， 6分

在直角△ACD中，∠DAC=90°-∠C，

∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-90°+（∠B+∠C）=（∠B-∠C） 8分

考点：1．三角形的外角等于和他不相邻的两个内角之和 2．直角三角形两锐角互余

3．三角形内角和定理 4．角平分线的性质