Question

（本题满分10分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

（1）当AB＝AC时，（如图1），

①∠EBF＝     °

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

Answer

（1）①∠EBF=22.5°；②FD=2BE；（2）．

【解析】

试题分析：（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．

②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．

（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．

试题解析：（1）①∵AB=AC∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°，

∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=22.5°，∵BE⊥DE，∴∠EBD=67.5°，∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°；

②在△BEF和△DEB中，∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°，∴△BEF∽△DEB，

如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形，

设EF=x，BE=y，则：BG=GD=，FD=，

∵△BEF∽△DEB，∴，即：，得：，

∴FD=，∴FD=2BE．

（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，

∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，

∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，

∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE，∴△DEG≌△DEB，

∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，

∴，即，

又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴，即，∴．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰直角三角形．