Question

（本题满分7分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC²＝AB·AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD＝4， AB＝6，求的值．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

试题解析：（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；

（2）∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；

（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，

∵AD=4，∴，∴．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．直角三角形斜边上的中线．