Question

（本题满分10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）6．

【解析】

试题分析：（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）OD=，OF=，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程，求出即可．

试题解析：（1）证明：连接OA、OD，

∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∴∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，

∵OA为半径，∴AC是⊙O切线；

（2）【解析】
∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r，

在Rt△DOF中，，

r=6，r=2（舍）；

即⊙O的半径r为6．

考点：切线的判定．