Question

（本题满分10分）如图，已知点O为△ABC的内心，连AO、BO、CO，过点O的直线分别交边AB、AC于点M、N，

图一                                 图二

（1）若∠BAC=70°，那么∠BOC=         °；

（2）如图1，若MN∥BC，BM=2，CN=3，求线段MN的长；

（3）如图2，若MN⊥AO，BM=2，CN=3，求线段MN的长．

Answer

（1）125°（2）5 （3）2

【解析】

试题分析：（1）由三角形的内心和角平分线的性质可以求出结果；

（2）由平行线的性质得到等腰三角形，然后利用等量代换得到所求的结果；

（3）根据三角形的内心和直角三角形角之间的关系判断出三角形相似，从而得到线段之间的比例关系，从而得到结果.

试题解析:(1)∵O为△ABC的内心

∴OB,OB分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠OBC+∠OBC=(∠ABC+∠ACB)

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OBC）=180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°-(180°-∠BAC)=125°；

（2）由（1）知∠MBO=∠CBO

∵MN∥BC

∴∠CBO=∠BOM

∴∠MBO=∠BOM

∴MB=MO

同理CN=NO

∴MN=NO+MO=CN+MB=5

(3)由（1）知∠BOC=90°+∠BAC

∵AO⊥MN,∠BAO=∠CAO

∴∠BMO=∠CNO=90°+∠BAC

OM=0N

∴∠BMO=∠CNO=∠BOC

∴∠MBO=∠CBO,∠BCO=∠OBC

∴△MBO∽△NOC∽△OBC

∴

∴

即

∴

∴MN=2

考点：三角形的内心，角平分线的性质，三角形相似，等腰三角形的性质