Question

（本题满分10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是            ，CG和EH的数量关系是            ，的值是          .

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若则的值是       （用含的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是             （用a，b含的代数式表示）.

Answer

（1）AB=3EH；CG=2EH；；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；

（2）本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．

（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．

试题解析：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．

则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB=3EH．

∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，

又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．，

故答案为：AB=3EH；CG=2EH；；

（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．

∴=m，∴AB=mEH．

∵AB=CD，∴CD=mEH，∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．

∴=2，∴CG=2EH，∴．

故答案为：；

（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴=b，∴CD=bEH．

又，∴AB=aCD=abEH．

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴，

故答案为：．

考点：1．相似形综合题；2．平行四边形的性质；3．梯形；4．相似三角形的判定与性质．