Question

（本题满分10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）7.5．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

试题解析：（1）连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD=，

连接CD．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm．

考点：1．切线的判定；2．平行线的判定与性质；3．圆周角定理；4．相似三角形的判定与性质．