Question

（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

Answer

【解析】

试题分析：（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；

（2）利用平行线截线段成比例推知；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．

试题解析：（1）证明：连接OD．

∵OB=OD

∴∠OBD=∠ODB

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ODB=∠DBC

∴OD∥BC

又∵∠C=90°

∴∠ADO=90°

∴AC⊥OD

即AC是⊙O的切线．

（2）【解析】
由（1）知，OD∥BC

∴△AOD∽△ABC

∴

即

解得

即⊙O的半径r为．

考点：切线的判定，平行线截线段成比例