Question

（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．

（1）填空：双曲线的另一支在第    象限，的取值范围是       ；

（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？

（3）若，，求双曲线的解析式．

Answer

（1）三，k＞0；（2），E点的坐标为（1，），即E点为BC的中点，阴影部分的面积S最小；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；

（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（1，1），则A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），再分别把y=1或x=1代入可得到A点的坐标为（k，1），E点的坐标为（1，k），然后计算S阴影部分=S△ACE+S△OBE=，配方得，当k=时，S阴影部分最小值为，则E点的坐标为（1，），即E点为BC的中点；

（3）设D点坐标为（，），由，则2OD=OC，即D点为OC的中点，于是C点坐标为（，），得到A点的纵坐标为，把代入得，确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2得到，然后解方程即可求出k的值．

试题解析：（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标为（1，1），

∴A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），

把y=1代入得x=k；把x=1代入得y=k，

∴A点的坐标为（k，1），E点的坐标为（1，k），

∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE==，

当时，S阴影部分最小，最小值为；

∴E点的坐标为（1，），即E点为BC的中点，

∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；

（3）设D点坐标为（，），∵，∴2OD=OC，即D点为OC的中点，

∴C点坐标为（，），∴A点的纵坐标为，

把代入得，∴A点坐标为（，），

∵S△OAC=2，∴，∴，∴双曲线的解析式为．

考点：反比例函数综合题．