Question

（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；

（2）求证：AE=CP；

（3）当，BP′=时，求线段AB的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）10．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；

（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；

（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．

试题解析：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，∵∠PAD=∠AP′E，∠ADP=∠P′EA=90°，AP=AP′，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；

（3）解：∵，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E=，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，

∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴AB：P′E=P′A：PE，即AB：4k=P′A：2k，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，，即，解得AB=10．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．